Rangkuman Materi Matematika Kelas 7 Bab 1

Guru Madrasah

Rangkuman Materi Matematika Kelas 7 Bab 1

A.Bilangan Bulat


Bilangan Bulat

Bilangan bulat dibedakan menjadi tiga bagian, yaitu:

  • Bilangan bulat negatif
  • Nol
  • Bilangan bulat positif

Masih ingatkah kalian dengan garis bilangan?

Garis bilangan akan membantu kita dalam menyelesaikan persoalan bilangan.

Bilangan bulat negatif letaknya di sebelah kiri.

Bilangan bulat positif letaknya di sebelah kanan.

Perhatikan gambar dibawah ini:

garis bilangan

Semakin ke kiri (negatif) semakin kecil nilai angka tersebut.

Semakin ke kanan (positif) semakin besar nilai angka tersebut.

Contoh -1 dan 1, maka lebih besar angka 1.

Contoh lain, -999 dan 1, maka tetap lebih besar 1.

Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat.

Pada bilangan bulat ada beberapa sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan.

Sifat tersebut dibagi menjadi 2 yaitu:

  • Sifat Komutatif
  • Sifat Asosiatif

Mari kita bahas satu persatu.

Sifat Komutatif

Secara umum, jika a dan b adalah bilangan bulat, maka berlaku:

sifat komutatif

Contohnya :

  • 1 + 2 = 2 + 1
  • 100 + 10 = 10 + 100
  • 9 + 5 = 5 + 9

Sifat Asosiatif

Secara umum, jika a, b , dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku:

sifat asosiatif

Contoh:

  • 120+(30+70) = (120+30) + 70, jumlahnya sama-sama 220.
  • 10+(40+20) = (10+40)+20, jumlahnya sama-sama 70.
  • 90 + (1+8) = (90+1)+8, jumlahnya sama-sama 99.

Selain dua sifat diatas, tahukah kamu bahwa :

  • Bilangan genap + bilangan genap Β = bilangan genap.
  • Bilangan ganjil + bilangan genap = bilangan ganjil.
  • Bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan ganjil.

Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat.

Perkalian Bilangan Bulat

Pada bilangan bulat ada beberapa sifat-sifat operasi perkalian.

Sifat tersebut dibagi menjadi 3 yaitu:

  • Sifat Komutatif
  • Sifat Asosiatif
  • Sifat Distributif

Sifat Komutatif

Secara umum, jika a dan b adalah bilangan bulat, maka berlaku:

a Γ— b = b Γ— a

Contoh:

  • 2 Γ— 3 = 3 Γ— 2
  • 4 Γ— 5 = 5 Γ— 4
  • 199 Γ— 32 = 32 Γ— 199

Sifat Asosiatif

Secara umum, jika a, b , dan c adalah sebarang bilangan bulat, maka berlaku:

(a Γ— b)Γ— c = a Γ— (b Γ— c)

Contoh:

  • (2 Γ— 3) Γ— 4 = 2 Γ— (3 Γ— 4), sama-sama hasilnya 24.
  • (10 Γ— 3) Γ— 4 = 10 Γ— (3 Γ— 4), sama-sama hasilnya 120.
  • (2 Γ— 3) Γ— 4 = 2 Γ— (3 Γ— 4), sama-sama hasilnya 24.

Sifat Distributif

Secara umum, sifat distributif dalam perkalian dibagi menjadi dua yaitu:

Perkalian terhadap penjumlahan, maka berlaku :

a Γ— (b+c) = (aΓ—b) + (a Γ— c)

Contoh :

  • 2 Γ— (5+3) = (2 Γ— 5) Β + (2 x 3) = 10 + 6 = 16
  • 4 Γ— (10 + 7) = (4 Γ— 10) + (4 Γ— 7) = 40 + 28 = 68
  • 9 Γ— (7 + 3) = (9 Γ— 7) + (9 Γ— 3) = 63 + 27 = 90

Perkalian terhadap penjumlahan, maka berlaku :

a Γ— (b-c) = (aΓ—b) – (a Γ— c)

Contoh :

  • 2 Γ— (5-3) = (2 Γ— 5)  – (2 x 3) = 10 – 6 = 4
  • 4 Γ— (10 – 7) = (4 Γ— 10) – (4 Γ— 7) = 40 – 28 = 12
  • 9 Γ— (7 – 3) = (9 Γ— 7) – (9 Γ— 3) = 63 – 27 = 36

Ada tabel yang perlu kalian ingat dalam perkalian bilangan bulat, perhatikan tabel dibawah ini dan hafalkan!

Perkalian Positif dan Negatif Bilangan Bulat

Contoh:

  • 2 Γ— 3 = 6 (positif 2 Γ— positif Β 3= positif 6)
  • 2 Γ— (-3) = – 6 (positif 2 Γ— negatif 3 = negatif 6)
  • (-2) Γ— 3 = – 6 (negatif 2 Γ— positif 3 = negatif 6)
  • (-2) Γ— (-3) = 6 (negatif 2 Γ— negatif 3 = positif 6)

Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, dst.

Pembagian Bilangan Bulat.

Secara umum jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka berlaku:

Ingat! Per adalah bagi!

Contoh :

  • 2 Γ— 3 = 6, maka 2 = 6 : 3
  • 7 Γ— 5 = 35, maka 5 = 35 : 7

Urutan Operasi

Dalam mengerjakan soal matematika, ada beberapa urutan yang harus kalian ingat sebagai patokan mana dulu yang harus dikerjakan.

Apabila kalian menemukan soal seperti dibawah ini:

2 + 7 Γ— 5 : 9 – 2 + (5 Γ— 3Β²) =….

Mana dulu yang harus dikerjakan?

Jangan bingung, perhatikan aturan matematika dibawah ini untuk urutan operasi (yang harus dikerjakan dahulu).

Hitung bentuk yang didalam kurung

Contohnya :

  • (6 + 2) Γ— 4 = 8 x 4 = 32.
  • 7 Γ— (3 +5) = 7 Γ— 8 = 56.

Hitung bentuk eksponen (pangkat)

Contohnya :

  • -4 + 3Β² = -4 + 9 = 5
  • 9 + (-4)Β² = 9 + 16 = 25
Perkalian dan pembagian secara berurutan dari kiri ke kanan

Contohnya :

  • 7 Γ— 5 : 35 = 35 : 35 = 1
  • 2 + 5 Γ— 9 = 2 + 45 = 47 (ingat perkalian dan pembagian didahulukan daripada penjumlahan dan pengurangan)
  • 48 : 2 Γ— 3 = 24 Γ— 3 = 72
Penjumlahan dan pengurangan secara berurutan dari kiri ke kanan

Contohnya :

  • 3 – 2 + Β 5 Γ— 4 = 3 – 2 + 20 = 1 + 20 = 21.
  • 3 + 4 : 2 – 5 Γ— 4 = 3 + 2 – 20 = 5 – 20 = (-15).

B.Bilangan Pecahan

Bilangan Pecahan

Pada bilangan pecahan, yang atas disebut pembilang.

Sedangkan yang bawah disebut penyebut.

Perhatikan gambar dibawah ini untuk contoh-contoh pecahan!

pecahan matematika

Untuk menentukan besaran pecahan yaitu dengan cara menghitung jumlah yang diarsir sebagai pembilang.

Sedangkan jumlah keseluruhan akan menjadi penyebut.

Sebagai contoh gambar 1, yang diarsir hanya satu sedangkan jumlah semuanya ada empat.

Jadi bentuk pecahannya yaitu 1/4.

Membandingkan Dua Bilangan Pecahan

Masih ingatkah kalian dengan beberapa simbol dibawah ini?

  • >
  • <
  • =

β€œ>” artinya lebih dari.

β€œ<” artinya kurang dari.

β€œ=” artinya sama dengan.

Sekarang dapatkah kalian tentukan jawaban dari soal dibawah ini?

soal pecahan

Untuk menyelesaikan soal tersebut ada cara mudah yaitu dengan cara kali silang.

Kali silang dari penyebut sebelah kanan dahulu dengan pembilang dari sebelah kiri.

Kemudian kali silang kembali dari penyebut sebelah kiri dengan pembilang dari sebelah kanan.

Perhatikan gambar ini bila bingung!

cara membandingkan dua pecahan

Maka dapat kita tulis :

4 x 1 = 4

2 x 1 = 2

Kemudian bandingkan kedua angka tersebut dari hasil hitung pertama.

4….2

4 itu lebih dari 2, jadi jawabannya adalah β€œ>” (lebih dari).

Mengurutkan Bilangan Pecahan

Setelah mengetahui cara membandingkan bilangan pecahan, sekarang kita pelajari cara mengurutkan bilangan pecahan baik dari terkecil maupun terbesar.

Sebagai contoh kita harus mengurutkan soal dibawah ini dari yang terkecil!

urutan pecahan

Maka cara termudah adalah mencari KPK dari seluruh penyebut.

Mari kita tentukan dahulu KPK dari 2,4,6,8 dan ternyata KPK nya adalah 24.

Setelah mengetahui KPKnya tugas berikut nya adalah membagi hasil KPK tersebut dengan masing-masing penyebut, kemudian dikalikan masing-masing pembilang.

Kita selesaikan satu per satu.

  • 24 : 2 x 1 = 12
  • 24 : 4 x 1 = 6
  • 24 : 6 x 4 = 16
  • 24 : 8 x 3 = 9

Dengan begitu kita tahu bahwa urutan dari terkecil adalah :

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

Dalam penjumlahan dan pengurangan pecahan, syarat utama adalah penyebut kedua pecahan HARUS WAJIB KUDU FARDU β€˜AIN sama!

Karena yang dijumlahkan atau dikurangkan hanya pembilang!

Ingat bahwa penyebut tidak dijumlahkan atau dikurangi!

Contoh :

contoh penjumlahan pecahan

Dari contoh diatas penyebut telah sama jadi bisa langsung dijumlahkan pembilangnya.

Bagaimana jika penyebut berbeda?

Perhatikan contoh dibawah ini :

contoh pengurangan pecahan

Bisa dilihat bahwa untuk menentukan penyebut agar sama yaitu dengan mencari KPK.

Sama seperti pembahasan sebelumnya pada mengurutkan nilai pecahan.

Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan

Perkalian Bilangan Pecahan

Dalam perkalian bilangan pecahan adalah materi paling gampang.

Karena untuk menghitung perkalian dalam pecahan tinggal mengalikan pembilang dengan pembilang, kemudian mengalikan penyebut dengan penyebut.

Contoh :

1/2 x 1/4 = (1 x 1) / (2 x 4) = 2 / 8.

Pembagian Bilangan Pecahan

Sedikit berbeda dengan perkalian, disini kita tidak dapat langsung membandingkan.

Ada langkah yang ditempuh yaitu :

  • Pecahan pertama kita tulis lagi
  • Tanda bagi diubah menjadi kali.
  • Pecahan kedua dibalik antara pembilang dan penyebut.

Contoh :

1/2 : 1/4 = 1/2 x 4/1 = 4/2 = 2.

Jenis Jenis Bilangan Pecahan

Dari awal kita baru membahas satu jenis pecahan yaitu pecahan biasa yang termasuk ke dalam pecahan sejati.

Tahukah kalian bahwa ada empat bentuk bilangan pecahan?

Bilangan pecahan tersebut adalah :

  • Pecahan sejati : pecahan yang pembilangnya kurang dari penyebut.
  • Pecahan tidak sejati : pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut.
  • Bilangan campuran : campuran antara bilangan bulat dan pecahan.
  • Bilangan desimal.

C.Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat dikenal juga dengan istilah bilangan eksponen.

Apabila suatu angka memiliki pangkat, artinya angka tersebut akan dikalikan dengan angka yang sama sejumlah nilai pada pangkatnya.

Contoh :

  • 32 = 3 x 3 = 9.
  • 23 = 2 x 2 x 2= 8.
  • 15 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1.

Apabila pangkatnya bernilai nol (0) maka hasilnya adalah satu (1), berapapun jumlah angka utamanya.

Contoh :

  • 10 = 1
  • 200 = 1
  • 1000000000000000000 = 1
  • a0 = 1

Bisa dilihat pada contoh diatas meskipun bukan angka ternyata apabila dipangkatkan nol hasilnya adalah satu.

Gampang kaan?

Catatan : Materi dibawah catatan ini hanyalah sebagai tambahan ilmu pengetahuan, dibuku tidak ada.

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat

Apabila ada penjumlahan dan pengurangan pada bilangan berpangkat, kita tidak bisa langsung menghitungnya.

Kita harus menguraikan satu per satu terlebih dahulu.

Sebagai contoh :

  • 32 + 32 = (3 x 3) + (3 x 3) = 9 + 9 = 18.
  • 42 + 33 = (4 x 4) + (3 x 3 x 3) = 16 + 27 = 43.
  • 25 – 92 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2) – (9 x 9) = 32 – 81 = -49.
  • 12 – 1000000000000000000000 = (1 x 1) – 1 = 1 – 1 = 0.

Perkalian dan Pembagian Bilangan Berpangkat

Perkalian Bilangan Berpangkat

Pada sistem perkalian bilangan berpangkat ada cara cepat untuk menghitung.

Tapi dengan syarat angka utamanya sama.

Caranya adalah dengan menjumlahkan kedua pangkatnya baru dijabarkan dan dihitung.

Perhatikan contoh dibawah ini :

32 x 33 =32+3 = 35 =3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

Bisa dilihat angka utamanya sama yaitu tiga maka untuk mengitungnya kita tinggal menjumlahkan pangkatnya saja.

Berbeda apabila angka utamanya tidak sama, maka kita tetap harus jabarkan satu per satu.

Contoh :

22 x 33 = Β 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108

Pembagian Bilangan Berpangkat

Kebalikan dari perkalian yang pangkatnya dijumlah, pada pembagian maka pangkatnya dikurangi.

Contoh :

33 x 32 =33-2 = 31 =3

Kalau berbeda angka utamanya tetap harus dijabarkan satu per satu ya!

Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Sekarang kita pelajari kembali perpangkatan bilangan berpangkat.

Apabila suatu angka yang memiliki pangkat kemudian dipangkatkan kembali maka pangkatnya dikali.

Contoh : (33)2 = 33Γ—2 = 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729.

D.KPK dan FPB

Kelipatan

Sebelum kita mengulas tentang KPK dan FPB, mari kita bahas apa itu kelipatan?

Kelipatan itu hasil perkalian dari angka yang dicari.

Contoh soal :

Tentukan kelipatan 2 yang kurang dari 15!

Untuk menyelesaikan soal diatas kita cukup membuat perkalian 2 saja!

Penyelesaian:

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

2 x 5 = 10

2 x 6 = 12

2 x 7 = 14

Maka jawabannya adalah 2,4,6,8,10,12, dan 14.

Karena yang dicari kurang dari 15!

Setelah mengetahui tentang kelipatan, maka kita akan pelajari kelipatan persekutuan.

Kelipatan Persekutuan

Kelipatan persekutuan adalah hasil kelipatan yang sama.

Contoh soal :

Tentukan kelipatan persekutuan dari 1 dan 2!

Penyelesaian:

Kita tinggal membuat tabel perkalian 1 dan 2 saja seperti pada soal sebelumnya!

1 x 1 = 1

1 x 2 = 2

1 x 3 = 3

1 x 4 = 4

1 x 5 = 5

1 x 6 = 6

1 x 7 = 7

1 x 8 = 8

1 x 9 = 9

1 x 10 = 10

Perkalian satu beres, sekarang perkalian dua.

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

2 x 5 = 10

2 x 6 = 12

2 x 7 = 14

2 x 8 = 16

2 x 9 = 18

2 x 10 = 20

Nah sekarang tinggal dilihat hasil perkalian, kita tulis yang sama saja.

Jadi kelipatan persekutuan dari 1 dan 2 adalah 2,4,6,8, dan 10.

Bilangan Prima

Selanjutnya, sebelum masuk ke KPK dan FPB kita harus memahami kembali apa itu bilangan prima.

Karena bilangan prima ini akan sangat digunakan dalam mencari KPK dan FPB.

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi dengan angka itu sendiri.

Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan seterusnya.

KPK

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil.

Meski namanya persekutuan terkecil bukan berarti kita cari angka yang kecil loh ya!

Cara Mencari KPK

Dalam mencari KPK dapat menggunakan pohon faktor.

Kita akan membagi angka yang diminta dengan bilangan prima sampai tidak dapat dibagi kembali.

Kemudian melingkari bilangan primanya.

Contoh soal :

Tentukan KPK dari 90 dan 168!

Penyelesaian :

Kita akan gunakan pohon faktor, perhatikan pohon faktor dibawah ini!

pohon faktor

Setelah mengetahui hasilnya, maka untuk menentukan KPK adalah dengan cara :

  • Ditulis semua angka utama
  • Cari pangkat yang besar

Maka hasilnya :

hasil kpk

Berikut penjelasannya:

Sesuai yang Admin jelaskan diatas, kita harus menulis semua angka utama.

Pada hasil pohon faktor 90 diketahui ada angka 2, 3 dan 5

Sedangkan pada hasil pohon faktor 168 diketahui ada angka 2, 3, dan 7.

Kita tulis semua angkanya maka ditemukan angka 2, 3, 5, dan 7.

Kemudian setelah itu kita tentukan pangkat terbesar dari masing-masing angka dan dihitung.

Mudah kan?

FPB

FPB adalah singkatan dari Faktor Peresekutuan Terbesar.

Sama seperti ketika mencari KPK, kita dapat menggunakan pohon faktor.

Cara Mencari FPB

Kita akan membagi angka yang diminta dengan bilangan prima sampai tidak dapat dibagi kembali.

Kemudian melingkari bilangan primanya.

Contoh soal :

Tentukan Β FPB dari 90 dan 168!

Penyelesaian :

Kita akan gunakan pohon faktor, perhatikan pohon faktor dibawah ini!

pohon faktor

Setelah mengetahui hasilnya, maka untuk menentukan FPB adalah dengan cara :

  • Ditulis semua angka utama yang sama saja, YANG SAMA SAJA.
  • Cari pangkat yang kecil

Maka hasilnya :

2 x 3 = 6

Berikut penjelasannya:

Sesuai yang Admin jelaskan diatas, kita harus menulis semua angka utama yang sama saja.

Pada hasil pohon faktor 90 diketahui ada angka 2, 3 dan 5

Sedangkan pada hasil pohon faktor 168 diketahui ada angka 2, 3, dan 7.

Kita tulis angka yang sama saja maka ditemukan angka 2 dan 3.

Kemudian setelah itu kita tentukan pangkat terkecil dari masing-masing angka dan dihitung.